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行列式展开定理的逆向应用

来源:www.liemaofaka.com 时间:2024-04-24 13:31:48 作者:纯青应用网 浏览: [手机版]

一览:

行列式展开定理的逆向应用(1)

  行列式展开定理是线性代数中的一个重要定理,它将一个$n$阶行列式展开为$n$个$n-1$阶行列式的代数和www.liemaofaka.com。这个定理在解决线性方程组、计算矩阵的逆、计算行列式等问题中都有广泛的应用。但是,们也可以从已知的行列式展开式反推出行列式的值,这就是行列式展开定理的逆向应用纯青应用网

一、行列式展开定理

  行列式展开定理是指,于一个$n$阶行列式$A$,可以按照其中的任意一行或一列展开,得以下的代数和:

  $$

  |A|=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|

  $$

其中,$a_{ij}$表示行列式$A$的第$i$行$j$列的元素,$|A_{ij}|$表示划去第$i$行$j$列后的$n-1$阶行列式。

  例于一个3阶行列式$A$:

  $$

  A=\begin{vmatrix}

  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\

  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\

  a_{31} & a_{32} & a_{33}

  \end{vmatrix}

  $$

  们可以按照第一行展开:

  $$

  |A|=a_{11}\begin{vmatrix}

a_{22} & a_{23} \\

  a_{32} & a_{33}

\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}

  a_{21} & a_{23} \\

  a_{31} & a_{33}

  \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}

a_{21} & a_{22} \\

  a_{31} & a_{32}

  \end{vmatrix}

  $$

  也可以按照第二列展开:

  $$

|A|=a_{12}\begin{vmatrix}

a_{31} & a_{33} \\

  a_{21} & a_{23}

  \end{vmatrix}-a_{22}\begin{vmatrix}

  a_{11} & a_{13} \\

  a_{31} & a_{33}

\end{vmatrix}+a_{32}\begin{vmatrix}

  a_{11} & a_{13} \\

  a_{21} & a_{23}

  \end{vmatrix}

  $$

二、行列式展开定理的逆向应用

  们可以从已知的行列式展开式反推出行列式的值,这就是行列式展开定理的逆向应用原文www.liemaofaka.com。具体来说,们可以通过造一个满足展开式的行列式,来出原来行列式的值。

于一个3阶行列式$A$:

  $$

  A=\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

  7 & 8 & 9

  \end{vmatrix}

$$

  们可以按照第一行展开:

  $$

  |A|=1\begin{vmatrix}

  5 & 6 \\

  8 & 9

  \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}

4 & 6 \\

7 & 9

  \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}

  4 & 5 \\

  7 & 8

\end{vmatrix}

$$

  们可以造一个行列式$B$,使得它的展开式与$A$相同:

  $$

B=\begin{vmatrix}

5 & 6 & 0 \\

  8 & 9 & 0 \\

  0 & 0 & 1

  \end{vmatrix}

$$

  按照第一行展开$B$,得

  $$

  |B|=5\begin{vmatrix}

  9 & 0 \\

  0 & 1

  \end{vmatrix}-6\begin{vmatrix}

  8 & 0 \\

  0 & 1

  \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}

8 & 9 \\

  0 & 0

\end{vmatrix}=45

$$

  因此,$|A|=45$原文www.liemaofaka.com

行列式展开定理的逆向应用(2)

三、行列式展开定理的逆向应用的意义

  行列式展开定理的逆向应用可以帮助们快速计算行列式的值,于一些比较复杂的行列式,可以通过造一个满足展开式的行列式来简化计算。

  此,行列式展开定理的逆向应用也可以帮助们更好地理解行列式的性质纯青应用网www.liemaofaka.com。通过造一个满足展开式的行列式,们可以发现行列式的值与元素的排列方式有关,也就是说,行列式的值可以用来描述矩阵的线性变换空间的扭曲程度。

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